Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Geometrie
4. Modellierungsstrategien
5. Datenaustausch
6. Simulation
7. Optimierung
8. Fertigung

Geometrie I: Kurven und Koordinatensysteme

• Geometrie im B-Rep
• Parametrische Darstellung
• Koordinatensysteme und Transformationen
• Analytische Kurven: Linie, Kreis, Ellipse
• Beispiel: Versatz einer Kurve

Rückblick: Geometrie im B-Rep

Was steckt hinter einer Kante?

Letzte Vorlesung: das B-Rep-Gerüst

Solid → Shell → Face → Wire → Edge → Vertex

Topologie beschreibt die Struktur – aber noch nicht die Form.

Geometrie beantwortet: wo und wie liegt ein Element im Raum?

Geometrie im B-Rep ablesen

geom_type verrät, welche Geometrie OCCT einem Element intern zuordnet:

zyl = bd.Cylinder(radius=10, height=20)
for e in zyl.edges():
    print(e.geom_type, round(e.length, 2))
# → CIRCLE 62.83  /  CIRCLE 62.83  /  LINE 20.0

Aufgabe 1: Geometrie im B-Rep ablesen

Startcode

import build123d as bd
from build123d import Axis, Plane, Location, Vector

1.1 – Zylinder analysieren

Erstellen Sie einen Zylinder (radius=15, height=30) und geben Sie aus:

1. Für jede Fläche: geom_type und Flächeninhalt (area)
2. Für jede Kante: geom_type und Länge (length)

Beantworten Sie:

• Wie viele Kanten hat der Zylinder? Welche Geometrietypen kommen vor?
• Welche Kante hat geom_type = LINE? Was stellt sie geometrisch dar?

Hinweise: .faces(), .edges(), .geom_type, .area, .length

1.2 – Vergleich mit anderen Körpern

Erstellen Sie einen Quader (Box(30, 20, 10)) und eine Kugel (Sphere(radius=10)).

1. Welche geom_type-Werte kommen bei Flächen und Kanten vor?
2. Warum hat die Kugel nur eine Fläche? Überprüfen Sie es.
3. Vergleichen Sie mit dem Zylinder: Was haben alle drei gemein, was unterscheidet sie?

Hinweise: set(f.geom_type for f in ...), len(...)

1.3 – Kegel

Erstellen Sie einen Kegel:

kegel = bd.Cone(bottom_radius=20, top_radius=0, height=30)

1. Welchen geom_type hat die Mantelfläche? Was erwarten Sie – und warum?
2. Wie viele Kanten hat der Kegel? Welche Typen?
3. Vergleichen Sie mit dem Zylinder: Was fehlt beim Kegel und warum?

Hinweise: .geom_type, .faces(), .edges()

Parametrische Darstellung

Drei Darstellungsformen

Wie lässt sich ein geometrisches Objekt mathematisch beschreiben?

CAD-Systeme verwenden ausschließlich die parametrische Darstellung – für Kurven und Flächen.

Was kann man damit anstellen?

Eine parametrische Kurve erlaubt geometrische Anfragen, die mit einer bloßen Formel nicht möglich wären:

• Punkt und Tangentenvektor bei beliebigem $u$: $\mathbf{C}(u)$, $\mathbf{C}'(u)$
• Bogenlänge zwischen zwei Parameterwerten
• Krümmung $\kappa(u)$
• Nächster Kurvenpunkt zu einem gegebenen Raumpunkt (Projektion)

e.position_at(0.5)   # Punkt bei t = 0.5
e.tangent_at(0.5)    # Tangentenvektor dort
e.length             # Gesamtlänge

Tangentenvektor

Eine Kurve im 3D-Raum als Funktion eines Parameters $u$:

$$\mathbf{C}(u) = \begin{pmatrix} x(u) \\ y(u) \\ z(u) \end{pmatrix}, \qquad u \in [u_{\min},\; u_{\max}]$$

Der Tangentenvektor gibt Richtung und Geschwindigkeit entlang der Kurve an:

$$\mathbf{T}(u) = \mathbf{C}'(u) = \frac{d\mathbf{C}}{du}$$

• Richtung: zeigt in die momentane Bewegungsrichtung
• Länge $|\mathbf{T}|$: „Geschwindigkeit“ im Parameterraum – hängt von der Parametrisierung ab

Bogenlänge

Die Bogenlänge $s$ misst die tatsächlich zurückgelegte Weglänge entlang der Kurve:

$$s(u) = \int_{u_0}^{u} \bigl|\mathbf{C}'(\tilde{u})\bigr| \, d\tilde{u}, \qquad \frac{ds}{du} = |\mathbf{C}'(u)|$$

Bogenlängenparametrisierung ($s$ als Parameter):

$$\left|\frac{d\mathbf{C}}{ds}\right| = 1$$

→ Tangentenvektor hat immer Länge 1

→ Geometrisch „natürliche“ Parametrisierung; rechnerisch aufwändig

Krümmung

Die Krümmung $\kappa$ misst, wie stark sich die Tangentenrichtung mit der zurückgelegten Weglänge ändert:

$$\kappa = \left|\frac{d^2\mathbf{C}}{ds^2}\right|$$

→ Bogenlängenparametrisierung

Für beliebige Parametrisierung (via Kettenregel + Lagrange-Identität):

$$\kappa(u) = \frac{|\mathbf{C}' \times \mathbf{C}''|}{|\mathbf{C}'|^3}$$

• $\kappa = 0$: Gerade $\quad|\quad$ $\kappa = 1/R$: Kreis mit Radius $R$
• $R_K = 1/\kappa$: Krümmungsradius – Radius des anliegenden Kreises

Der Parameterraum

u:   0.0       0.25      0.5       0.75      1.0
     ●─────────●─────────●─────────●─────────●
     C(0)                C(½)               C(1)

• Der Parameter läuft gleichmäßig von $u_{\min}$ bis $u_{\max}$
• Die Punkte $\mathbf{C}(u)$ im Raum sind dabei nicht gleichmäßig verteilt
• Kreis: $u \in [0, 2\pi]$ – der Parameter entspricht dem Winkel

In build123d: position_at(t) mit $t \in [0, 1]$ liefert den Punkt, tangent_at(t) den Tangentenvektor.

Parametrische Flächen

Flächen sind Funktionen von zwei Parametern $u$ und $v$:

$$\mathbf{S}(u, v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}, \qquad u \in [u_0, u_1],\quad v \in [v_0, v_1]$$

Der Normalenvektor ergibt sich aus den Tangenten in $u$- und $v$-Richtung:

$$\mathbf{n}(u,v) = \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial v}$$

→ Vorzeichen bestimmt, welche Seite „außen“ ist (erinnert an Orientierung aus VL2)

Die Flächentypen (Ebene, Zylinder, NURBS-Flächen, …) sind Thema von Vorlesung 4.

Aufgabe 2: Parametrische Kurven erkunden

2.1 – Punkte auf einer Kreiskante

Nehmen Sie den Zylinder aus Aufgabe 1.1. Selektieren Sie eine Kreiskante und berechnen Sie position_at für $t \in \{0{,}0;\; 0{,}25;\; 0{,}5;\; 0{,}75\}$.

1. Auf welcher Höhe liegen die Punkte? Auf dem Deckel oder dem Boden?
2. Berechnen Sie die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Punkten. Sind sie gleich?
3. Erklärt das Ergebnis, warum der Parameter $t$ nicht dem Bogenmaß entspricht?

Hinweise: .filter_by(bd.GeomType.CIRCLE)[0], .position_at(t), (p2 - p1).length

2.2 – Tangente und Normalenrichtung

Berechnen Sie für dieselbe Kreiskante tangent_at(t) bei $t \in \{0{,}0;\; 0{,}25;\; 0{,}5;\; 0{,}75\}$.

1. In welche Richtung zeigt die Tangente bei $t = 0{,}0$? Macht das geometrisch Sinn?
2. Berechnen Sie den Radiusvektor (Richtung vom Kreismittelpunkt zum Punkt) und das Skalarprodukt mit der Tangente. Was ergibt sich – und warum?

Hinweise: .tangent_at(t), Vector(0, 0, z), .dot(), .normalized()

2.3 – Ellipse: gleichmäßiger Parameter, ungleichmäßige Punkte?

Erstellen Sie eine Ellipse und berechnen Sie 8 gleichmäßig verteilte Parameterpunkte:

ellipse = bd.Edge.make_ellipse(x_radius=30, y_radius=15)
punkte = [ellipse.position_at(i / 8) for i in range(8)]

1. Berechnen Sie die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Punkten.
2. Sind die Abstände gleichmäßig? Was sagt das über die Parametrisierung aus?
3. Wo auf der Ellipse liegen die „dichteren" Punkte – bei großer oder kleiner Krümmung?

Hinweise: (p2 - p1).length, Folie „Parametrische Kurven"

Koordinatensysteme und Transformationen

Vektoren, Achsen, Ebenen

Drei Grundobjekte für die Arbeit im Raum:

Auf Vector sind die üblichen Operationen definiert: Addition, Skalierung, Länge (v.length), Normierung, Skalarprodukt (v.dot(w)), Kreuzprodukt (v.cross(w)).

Standardachsen und Standardebenen

Vordefinierte Achsen: Axis.X, Axis.Y, Axis.Z (Weltkoordinatensystem)

Vordefinierte Ebenen:

Benutzerdefiniert:

• Axis((5, 3, 0), (0, 0, 1)) – Achse durch beliebigen Punkt
• Plane(origin=(0,0,10), z_dir=(1,0,0)) – Ebene mit beliebiger Normalen

Location: Lage eines Objekts im Raum

Jedes Objekt hat eine Location – seine Position und Orientierung im Weltkoordinatensystem.

Eine Location kodiert:

• Translation: Verschiebung $(dx,\, dy,\, dz)$
• Rotation: Orientierung (als Quaternion / Rotationsmatrix gespeichert)

Location ist das lokale Koordinatensystem eines Objekts relativ zur Welt.

Kann aus einem Punkt (Location((20, 10, 5))) oder aus einer Ebene (Location(Plane.XZ)) erzeugt werden.

Transformationen

Wichtig: Jede Transformation liefert ein neues Objekt – das Original bleibt unverändert.

Transformationen lassen sich verketten:
zyl.rotate(Axis.Z, 30).move(Location((20, 0, 0)))

Drehungen im Raum

Eine Drehung im 3D-Raum ist durch Achse + Winkel vollständig beschrieben:

$$\text{Drehung} = \bigl(\hat{\mathbf{e}},\; \varphi\bigr)$$

• $\hat{\mathbf{e}}$: Einheitsvektor der Drehachse (beliebig im Raum)
• $\varphi$: Drehwinkel (im Uhrzeigersinn von oben, Rechte-Hand-Regel)

Intern wird daraus eine Rotationsmatrix $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ berechnet, die auf jeden Punkt angewendet wird: $\mathbf{p}' = \mathbf{R}\,\mathbf{p}$

# Drehung um die Z-Achse, 45°
zyl.rotate(Axis.Z, 45)

# Drehung um eine beliebige Achse durch Punkt (5, 0, 0)
zyl.rotate(Axis((5, 0, 0), (0, 0, 1)), 30)

Reihenfolge von Transformationen

Translationen kommutieren – die Reihenfolge ist egal:

$$\mathbf{T}_1\,\mathbf{T}_2 = \mathbf{T}_2\,\mathbf{T}_1$$

Rotationen kommutieren nicht – die Reihenfolge ist entscheidend:

$$\mathbf{R}_x\,\mathbf{R}_z \neq \mathbf{R}_z\,\mathbf{R}_x$$

Rotation + Translation kommutieren ebenfalls nicht:

$$\mathbf{T}\,\mathbf{R} \neq \mathbf{R}\,\mathbf{T}$$

→ Bei verketteten Transformationen immer auf die Reihenfolge achten.

Ebene aus einer Fläche

Ein besonders nützliches Muster: Konstruktionsebene direkt aus einer vorhandenen Fläche ableiten.

ebene = Plane(oberseite)   # Ursprung + Orientierung der Fläche

Die Ebene übernimmt automatisch den Flächenmittelpunkt als Ursprung und die Flächennormale als $z$-Richtung.

Anwendung: Bohrung senkrecht auf einer schrägen Fläche – die Skizze wird auf der Fläche platziert, unabhängig von deren Lage im Raum.

Aufgabe 3: Transformationen

3.1 – Reihenfolge von Drehen und Verschieben

Erstellen Sie einen Zylinder (radius=10, height=20) und führen Sie die gleichen Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge durch:

• Variante A: 45° um die Z-Achse drehen, dann um $(30, 0, 0)$ verschieben
• Variante B: um $(30, 0, 0)$ verschieben, dann 45° um die Z-Achse drehen

1. Wo liegt der Mittelpunkt (center()) jeweils?
2. Erklären Sie anhand der Formel $\mathbf{T}\mathbf{R} \neq \mathbf{R}\mathbf{T}$ den Unterschied.

Hinweise: .rotate(Axis.Z, winkel), .move(Location((dx, dy, dz))), .center()

3.2 – Konstruktionsebene aus Fläche

Erstellen Sie einen Quader (Box(40, 30, 10)) und leiten Sie eine Konstruktionsebene von der Oberseite ab. Platzieren Sie darauf einen Zylinder (radius=8, height=15).

1. Wo liegt der Ursprung der abgeleiteten Ebene?
2. Verbinden Sie Quader und Zapfen. Wie viele Flächen hat der Gesamtkörper?
3. Diskussion: Was wäre der Nachteil, wenn Sie statt Plane(oberseite) direkt Plane.XY.offset(5) verwendet hätten?

Hinweise: .faces().sort_by(Axis.Z).last, Plane(face), ebene * bd.Cylinder(...), + oder fuse

3.3 – Spiegelung

Bauen Sie eine asymmetrische Form aus zwei Quadern (sie sollen nicht spiegelsymmetrisch sein). Spiegeln Sie die Form an Plane.YZ und verbinden Sie Original und Spiegelbild.

1. Überprüfen Sie, dass Original und Spiegelbild zusammen eine symmetrische Form ergeben.
2. Welche Flächen „verschwinden" beim Verbinden?

Hinweise: .mirror(Plane.YZ), bd.Pos(x, y) * ..., +

Kurventypen

Analytische Kurven

Exakt durch eine geschlossene Formel beschreibbar:

Für Standardkörper (Box, Cylinder, Sphere, …) reichen analytische Kurven vollständig aus.

Trimming: wie wird eine Kurve endlich?

Analytische Kurven sind mathematisch unbegrenzt – eine Linie reicht von $-\infty$ bis $+\infty$.

Eine Edge ist immer ein endliches Stück: Kurve + Parameterintervall $[u_1,\, u_2]$

Geom_Line (unendlich):   ────────────────────────────────
                                  ↑             ↑
                                 u₁            u₂
Edge (getrimmt):                  ●─────────────●

→ Dasselbe Kreisobjekt steckt hinter einem Halbkreis-Edge wie hinter einem Viertelkreis –
nur das Intervall $[u_1, u_2]$ unterscheidet sie.

Ellipse: variable Krümmung

$$\mathbf{C}(u) = \begin{pmatrix}a\cos u \\ b\sin u\end{pmatrix}, \qquad \kappa(u) = \frac{ab}{\bigl(a^2\sin^2 u + b^2\cos^2 u\bigr)^{3/2}}$$

An den vier Scheitelpunkten:

→ Die Ellipse hat keine konstante Krümmung – im Gegensatz zum Kreis, und das entscheidet, wie Operationen wie Versatz oder Abrundung auf sie wirken.

Beispiel: Versatz einer Kurve

Was ist ein Versatz (Offset)?

Eine Versatzkurve entsteht, indem jeder Punkt der Originalkurve um eine konstante Distanz $d$ entlang des Normalenvektors verschoben wird:

$$\mathbf{C}_{\text{offset}}(u) = \mathbf{C}(u) + d \cdot \hat{\mathbf{n}}(u)$$

Typische CAD-Anwendungen:

• Wanddicke bei Dünnwandteilen
• Freiraum um ein Bauteil (Kollisionsprüfung)
• Werkzeugpfad beim Fräsen

Versatz eines Kreises

Kreis (Radius $R$): alle Normalen zeigen durch den Mittelpunkt → der Versatz verschiebt den Radius gleichmäßig.

$$R_{\text{offset}} = R + d$$

→ wieder ein Kreis!

Grund: Konstante Krümmung → Normalen drehen gleichmäßig → Versatz ändert nur den Radius.

Versatz einer Ellipse

Ellipse ($a = 30$, $b = 15$): Normalen drehen ungleichmäßig – die Krümmung variiert.

Die Versatzkurve lässt sich nicht als $a'\cos u,\; b'\sin u$ schreiben:

ellipse = bd.Edge.make_ellipse(x_radius=30, y_radius=15)
offset  = ellipse.offset_2d(5)
for e in offset.edges():
    print(e.geom_type)   # → OFFSET

OCCT berechnet den Versatz numerisch als Offset-Kurve – keine analytische Ellipse mehr.

Warum ist die Versatzkurve keine Ellipse mehr?

Bei konstanter Krümmung (Kreis) wirkt der Versatz überall gleich.
Bei variabler Krümmung (Ellipse) wirkt er ungleichmäßig:

• Stark gebogene Stellen (kleiner $R_K$): Versatz „staucht“ die Kurve
• Flache Stellen (großer $R_K$): Versatz ändert die Form kaum

Geometrische Operationen erzeugen häufig Kurven höherer Komplexität als die Eingabe —
selbst bei einfachen Ausgangskurven.

Daher brauchen CAD-Systeme eine Darstellung, die beliebige glatte Kurven beschreiben kann.

Aufgabe 4: Versatzkurven

4.1 – Versatz eines Kreises

Erstellen Sie einen freistehenden Kreis und berechnen Sie den Versatz:

kreis = bd.Edge.make_circle(radius=20)
versatz = kreis.offset_2d(5)

1. Welchen geom_type haben die resultierenden Kanten? Was bedeutet das geometrisch?
2. Warum liefert offset_2d einen Wire (mehrere Kanten) statt einer einzelnen Kante?
3. Wie groß ist der Radius der Versatz-Kanten? Berechnen Sie ihn aus der Länge.

Hinweise: .edges(), .geom_type, .length, $r = l / (2\pi)$ (voller Kreis) oder $r = l / \pi$ (Halbkreis)

4.2 – Versatz einer Ellipse

Erstellen Sie eine Ellipse (x_radius=30, y_radius=15) und versetzen Sie sie um 5.

1. Welchen geom_type haben die resultierenden Kanten? Unterschied zu 4.1?
2. Warum ergibt der Versatz keine analytische Ellipse mehr? (Folie „Versatz einer Ellipse")
3. Vergrößern Sie den Versatz auf 20. Was passiert und warum?

Hinweise: .offset_2d(d), .edges(), .geom_type

Zusammenfassung

• Edge trägt eine Kurve $\mathbf{C}(u)$, Face trägt eine Fläche $\mathbf{S}(u,v)$
• Parametrische Darstellung: universell, eindeutig auswertbar
• Tangente $\mathbf{C}'(u)$ und Krümmung $\kappa = 1/R_K$ aus Ableitungen
• Vector, Axis, Plane, Location – räumliches Handwerkszeug; Transformationen erzeugen neue Objekte
• Analytische Kurven (Linie, Kreis, Ellipse): exakt, aber begrenzt
• Geometrische Operationen erzeugen komplexere Geometrie: Versatz einer Ellipse → keine Ellipse mehr

Ausblick: Geometrie II

• Freiformkurven: Bézier, B-Spline, NURBS
• Stetigkeitsbedingungen: $C^0 / C^1 / C^2$ beim Verbinden von Kurven
• Flächen: analytisch, Sweep-Flächen, NURBS-Flächen
• Geometrische Anfragen: Projektion, Abstand, Schnittpunkte

Zusatzaufgabe: Lochkreis analysieren

Ringscheibe mit Bohrungen

Erstellen Sie eine Ringscheibe mit 6 Bohrungen auf einem Lochkreis:

import math

scheibe = bd.Cylinder(radius=40, height=8) - bd.Cylinder(radius=12, height=8)

for winkel in range(0, 360, 60):
    x = 28 * math.cos(math.radians(winkel))
    y = 28 * math.sin(math.radians(winkel))
    scheibe = scheibe - bd.Pos(x, y) * bd.Cylinder(radius=4, height=8)

Geometrieanalyse

1. Wie viele Kanten hat die Scheibe? Welche Geometrietypen kommen vor und wie oft?
2. Selektieren Sie alle Kreiskanten und bestimmen Sie die verschiedenen Radien. Welche Radien erwarten Sie – und passen sie zu den Konstruktionsmaßen?
3. Verrunden Sie alle oberen Kreiskanten (Bohrungseintritt oben) mit radius=0.5.

Hinweise: collections.Counter, .filter_by(bd.GeomType.CIRCLE), .radius,
.filter_by_position(Axis.Z, minimum=..., maximum=...), bd.fillet(..., radius=...)