Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Geometrie
4. Modellierungsstrategien
5. Datenaustausch
6. Simulation
7. Optimierung
8. Fertigung

Geometrie I: Kurven und Koordinatensysteme

• Geometrie im B-Rep
• Parametrische Darstellung
• Koordinatensysteme und Transformationen
• Analytische Kurven: Linie, Kreis, Ellipse
• Beispiel: Versatz einer Kurve

Rückblick: Geometrie im B-Rep

Was steckt hinter einer Kante?

Letzte Vorlesung: das B-Rep-Gerüst

Solid → Shell → Face → Wire → Edge → Vertex

Topologie beschreibt die Struktur – aber noch nicht die Form.

Geometrie beantwortet: wo und wie liegt ein Element im Raum?

Geometrie im B-Rep ablesen

geom_type verrät, welche Geometrie OCCT einem Element intern zuordnet:

zyl = bd.Cylinder(radius=10, height=20)
for e in zyl.edges():
    print(e.geom_type, round(e.length, 2))
# → CIRCLE 62.83  /  CIRCLE 62.83  /  LINE 20.0

Parametrische Darstellung

Drei Darstellungsformen

Wie lässt sich ein geometrisches Objekt mathematisch beschreiben?

CAD-Systeme verwenden ausschließlich die parametrische Darstellung – für Kurven und Flächen.

Parametrische Kurven

Eine Kurve im 3D-Raum als Funktion eines Parameters :

Abgeleitete Größen:

• Tangentenvektor:

  Richtung und „Geschwindigkeit" entlang der Kurve

• Krümmung:

  Wie stark biegt die Kurve? Kehrwert des Krümmungsradius.

Der Parameterraum

u:   0.0       0.25      0.5       0.75      1.0
     ●─────────●─────────●─────────●─────────●
     C(0)                C(½)               C(1)

• Der Parameter läuft gleichmäßig von bis
• Die Punkte im Raum sind dabei nicht gleichmäßig verteilt
• Kreis: – der Parameter entspricht dem Winkel

In build123d: position_at(t) mit liefert den Punkt, tangent_at(t) den Tangentenvektor.

Parametrische Flächen

Flächen sind Funktionen von zwei Parametern und :

Der Normalenvektor ergibt sich aus den Tangenten in - und -Richtung:

→ Vorzeichen bestimmt, welche Seite „außen" ist (erinnert an Orientierung aus VL2)

Die Flächentypen (Ebene, Zylinder, NURBS-Flächen, …) sind Thema von Vorlesung 4.

Koordinatensysteme und Transformationen

Vektoren, Achsen, Ebenen

Drei Grundobjekte für die Arbeit im Raum:

Auf Vector sind die üblichen Operationen definiert: Addition, Skalierung, Länge (v.length), Normierung, Skalarprodukt (v.dot(w)), Kreuzprodukt (v.cross(w)).

Standardachsen und Standardebenen

Vordefinierte Achsen: Axis.X, Axis.Y, Axis.Z (Weltkoordinatensystem)

Vordefinierte Ebenen:

Benutzerdefiniert:

• Axis((5, 3, 0), (0, 0, 1)) – Achse durch beliebigen Punkt
• Plane(origin=(0,0,10), z_dir=(1,0,0)) – Ebene mit beliebiger Normalen

Location: Lage eines Objekts im Raum

Jedes Objekt hat eine Location – seine Position und Orientierung im Weltkoordinatensystem.

Eine Location kodiert:

• Translation: Verschiebung
• Rotation: Orientierung (als Quaternion / Rotationsmatrix gespeichert)

Location ist das lokale Koordinatensystem eines Objekts relativ zur Welt.

Kann aus einem Punkt (Location((20, 10, 5))) oder aus einer Ebene (Location(Plane.XZ)) erzeugt werden.

Transformationen

Wichtig: Jede Transformation liefert ein neues Objekt – das Original bleibt unverändert.

Transformationen lassen sich verketten:
zyl.rotate(Axis.Z, 30).move(Location((20, 0, 0)))

Drehungen im Raum

Eine Drehung im 3D-Raum ist durch Achse + Winkel vollständig beschrieben:

• : Einheitsvektor der Drehachse (beliebig im Raum)
• : Drehwinkel (im Uhrzeigersinn von oben, Rechte-Hand-Regel)

Intern wird daraus eine Rotationsmatrix berechnet, die auf jeden Punkt angewendet wird:

# Drehung um die Z-Achse, 45°
zyl.rotate(Axis.Z, 45)

# Drehung um eine beliebige Achse durch Punkt (5, 0, 0)
zyl.rotate(Axis((5, 0, 0), (0, 0, 1)), 30)

Reihenfolge von Transformationen

Translationen kommutieren – die Reihenfolge ist egal:

Rotationen kommutieren nicht – die Reihenfolge ist entscheidend:

Rotation + Translation kommutieren ebenfalls nicht:

→ Bei verketteten Transformationen immer auf die Reihenfolge achten.

Ebene aus einer Fläche

Ein besonders nützliches Muster: Konstruktionsebene direkt aus einer vorhandenen Fläche ableiten.

ebene = Plane(oberseite)   # Ursprung + Orientierung der Fläche

Die Ebene übernimmt automatisch den Flächenmittelpunkt als Ursprung und die Flächennormale als -Richtung.

Anwendung: Bohrung senkrecht auf einer schrägen Fläche – die Skizze wird auf der Fläche platziert, unabhängig von deren Lage im Raum.

Kurventypen

Analytische Kurven

Exakt durch eine geschlossene Formel beschreibbar:

Für Standardkörper (Box, Cylinder, Sphere, …) reichen analytische Kurven vollständig aus.

Krümmung einer Kurve

Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve biegt:

• : Krümmungsradius – Radius des anliegenden Kreises
• Gerade: (unendlich flach)
• Kreis (Radius ): überall konstant

Die Krümmungsverteilung entscheidet, wie geometrische Operationen (Versatz, Abrundung, Sweep) auf eine Kurve wirken.

Ellipse: variable Krümmung

An den vier Scheitelpunkten:

→ Die Ellipse hat keine konstante Krümmung – im Gegensatz zum Kreis.

Beispiel: Versatz einer Kurve

Was ist ein Versatz (Offset)?

Eine Versatzkurve entsteht, indem jeder Punkt der Originalkurve um eine konstante Distanz entlang des Normalenvektors verschoben wird:

Typische CAD-Anwendungen:

• Wanddicke bei Dünnwandteilen
• Freiraum um ein Bauteil (Kollisionsprüfung)
• Werkzeugpfad beim Fräsen

Versatz eines Kreises

Kreis (Radius ): alle Normalen zeigen durch den Mittelpunkt → der Versatz verschiebt den Radius gleichmäßig.

Grund: Konstante Krümmung → Normalen drehen gleichmäßig → Versatz ändert nur den Radius.

Versatz einer Ellipse

Ellipse (, ): Normalen drehen ungleichmäßig – die Krümmung variiert.

Die Versatzkurve lässt sich nicht als schreiben:

ellipse = bd.Edge.make_ellipse(x_radius=30, y_radius=15)
offset  = ellipse.offset_2d(5)
for e in offset.edges():
    print(e.geom_type)   # → OFFSET

OCCT berechnet den Versatz numerisch als Offset-Kurve – keine analytische Ellipse mehr.

Warum ist die Versatzkurve keine Ellipse mehr?

Bei konstanter Krümmung (Kreis) wirkt der Versatz überall gleich.
Bei variabler Krümmung (Ellipse) wirkt er ungleichmäßig:

• Stark gebogene Stellen (kleiner ): Versatz „staucht“ die Kurve
• Flache Stellen (großer ): Versatz ändert die Form kaum

Geometrische Operationen erzeugen häufig Kurven höherer Komplexität als die Eingabe —
selbst bei einfachen Ausgangskurven.

Daher brauchen CAD-Systeme eine Darstellung, die beliebige glatte Kurven beschreiben kann.

Zusammenfassung

Kernkonzepte dieser Vorlesung

• Edge trägt eine Kurve , Face trägt eine Fläche
• Parametrische Darstellung: universell, eindeutig auswertbar
• Tangente und Krümmung aus Ableitungen
• Vector, Axis, Plane, Location – räumliches Handwerkszeug; Transformationen erzeugen neue Objekte
• Analytische Kurven (Linie, Kreis, Ellipse): exakt, aber begrenzt
• Geometrische Operationen erzeugen komplexere Geometrie: Versatz einer Ellipse → keine Ellipse mehr

Ausblick: Geometrie II

• Freiformkurven: Bézier, B-Spline, NURBS
• Stetigkeitsbedingungen: beim Verbinden von Kurven
• Flächen: analytisch, Sweep-Flächen, NURBS-Flächen
• Geometrische Anfragen: Projektion, Abstand, Schnittpunkte